数学高考题“新”在哪儿

2022年新高考数学全国Ⅰ卷,被一些人认为是“史上最难”,对此我们应该冷静而客观地分析。其实今年高考数学除了运算量比较大之外,既无高难度的技巧,也无特别复杂的题型套路。我认为,这种“难”,其实是高考命题新理念、新变化带给考生和教师的不适应,主要体现在四个方面。

情境化是新高考命题的一大特点,此类问题求解的关键是“解模”,即将生活中的实际问题、探索情境转化为数学符号语言,并借助常规的数学模型求解。若命题时将情境化试题的思维起点由“解模”前移至非连续性文本“阅读”和数量关系梳理,就成了“数学建模”问题,其关键不是“解模”,而是要用数学的眼光看世界,读懂生活中的德、智、体、美、劳,用数学的思维理解题意、建立模型。大量刷题能对“解模”熟能生巧,却不一定对“建模”行之有效。

在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献。如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar。下列结论中正确的是

【解读】这道题以北京冬奥会上国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术为背景,以图形方式给出二氧化碳所处的状态与温度、压强的关系,考查考生读图、识图、分析图表数据、估值等数学应用能力。这道题创设的情境新颖,教材上没见过,教师没讲过,考查学生对数学基础知识、基本原理的灵活综合运用。

情境化问题是新高考重要的考查载体。近年高考试题用体现中国特色社会主义进入新时代的新材料、新情境、新问题,将考查内容进行“包装”,使思维的起点由“解模”前移至“建模”。“建模”需要的是综合能力与素养,无法像“解模”那样总结出固定的套路供考生模仿。

改变呈现方式是推陈出新的重要手段,除了常规的换个说法外,将已知条件由基本量后移至导出量是一种更高层次的“推陈出新”。基本量是指在量制中约定地被认为是相互独立的量。导出量是指由基本量根据有关公式推导出来的其他量。由基本量求解导出量,只需要借助相关的公式、定理等;由导出量求解基本量,则是较为复杂的逆向问题;由此导出量求解彼导出量,则需要基本量来中转信息,或者依据整体思想进行整体代换——需要对各量之间的相互联系有整体的理解与把握。大量重复的刷题训练,主要是由基本量求解导出量,一旦面对由此导出量求解彼导出量的高考试题,考生就会感觉极不适应。

【解读】本题已知量不是一些基本量,而是一些导出量:已知条件不是一维长度,而是二维面积和三维体积;已知条件不是线线垂直,而是面面垂直;已知条件不是平面角,而是空间角。

新课标倡导整体思维,类似这样的题目正是考查整体思维的绝佳材料。用陌生的呈现方式考查考生熟悉的问题的核心本质及其通性通法,既能考查考生的能力,又能确保公平公正。

探究性、开放性试题是考查基本活动经验与创新能力的绝佳载体,它从独特的角度对学科知识进行多方位、深层次的考查,体现考生的个性品质和创新意识,鼓励有独特见解、有思想水平、有创新精神的答案。这不是考生通过大量刷题就能有效应对的,它需要考生具备必要的核心素养与关键能力。

过(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_____。

【解读】该题答案不唯一,开放的问题中蕴含了丰富的数学思维,给不同水平的考生提供了多层次的思考空间:平面内不共线点确定一个圆,但题目偏偏给出不共线的四个已知点,这让不同层次的考生都有表现自我的机会,似乎区分度不大,但选择的三个点不同,运算量和运算难易度不一样。运算量大的不仅更容易算错,而且常常造成隐性的时间丢分。该题在考查思维的灵活性和深刻性方面具有很好的选拔功能。

开放性探究性的设问方式,鼓励批判性思维与创造性思维,这类试题在很大程度上可以弥补封闭性试题求同思维的不足,直击题型教学与机械刷题的痛点。

数学是一门关于“模式”的学科——发现和使用数学模式的学科,在学习初期,题型教学和一定量的模仿训练不仅是掌握新知识及其思想方法的必要步骤,而且还可以熟能生巧,故而很多师生都“沉迷”在这个舒适区。但在实际教学中,它存在三个严重问题:一是缺失题型及解题模型的生成过程,教师总是倾向于对每类问题总结出解题方法,然后让学生直接应用,由于将大量时间花在模仿练习和记忆教师总结的分类题型上,缺失了数学模式的生成过程及解决问题的过程,造成学生对所学数学模式的认识停留于表面,在新情境中使用数学模式解题时就显得生硬、机械,遇到新题型不知从何入手。二是题型教学和模仿训练不是终点,更不是终极目标,仅是快速掌握新知识及其思想方法、提升核心素养和能力的载体,到了一定阶段后必须脱离模仿训练而注重思维能力提升。三是过度训练会剥夺考生独立思考、自由发挥的机会,训练的结果是培养出规格型和特殊型“人才”,思维僵化,很难有创新思想,面对没见过的高考“新题”自然就不知所措。

(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

【解读】本题第二问求证三点横坐标为等差数列,看似很复杂,如果能注意到同构式,操作起来就不会有太大的问题了。

有些教师不注重“题型”及其通性通法的生成过程,另一方面又止步于机械的题型教学和模仿训练,在教与学中就题论题,不对例题习题进行改编和拓展延伸,缺乏一题多变、一题多解、多题一解、多法归一。只有对所学知识题型及其思想方法纵横审视、反复琢磨,才可能从整体上把握数学知识内容的核心本质,才可能窥见普适性的数学思想与理性精神,从而在更高层次提升考生的核心素养与人文精神。

面对新课标、新教材和新高考改革,如果忽视学科思维的养成,没有形成完整的学科体系,知其然而不知其所以然,学生在考场上遇到陌生情境、陌生材料、陌生设问方式时,不能进行有效思维分析,就会自乱阵脚,无法独立思考、灵活应变。

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